Mécanique analytique, symétries et groupes

Présentation

Responsable UE: Rob Scott

1) Contraintes, systèmes holonomes ou non, principe des puissances virtuelles (2h CM, 2h TD)

2) Coordonnées généralisées et forces généralisées (1h CM, 1h TD)

3) Energie cinétique et quantité de mouvement généralisée (1h CM, 1h TD)

4) Équations d'Euler-Lagrange (2h CM, 2h TD)

5) Action et principe de moindre action (2h CM, 2h TD)

6) Équations de Hamilton-Jacobi (1h CM, 2h TD)

7) Groupes d'invariance – groupes de Lie, exemples et applications ; théorème de Noether (5h CM, 6h TD)

8) Introduction aux concepts de symétrie (2h CM)

a- les symétries évidentes, cristaux de glace ou de quartz (historique: Hauy, Neumann, Curie)

b- les symétries des lois (1/r^2,...)

9) Notions de groupes (4h CM/4hTD)

a- pourquoi les groupes

b- groupes abstraits

c- leurs réalisations

d- table de multiplication

 

10) Approche matricielle - théorie des représentations (4h CM/2h TD)

a- grands théorèmes (résultats)

b- construction des tables de caractères

11) Applications (8h TD)

a- spectroscopie vibrationnelle

b- champ cristallin

c- réduction de tenseur, ex: piézoélectricité

Pré-requis nécessaires

Mécanique classique (point et systèmes de points), équations différentielles (fonctions d'une variable réelle), équations aux dérivées partielles (fonctions de plusieurs variables réelles), algèbre linéaire.

Compétences visées

Savoir résoudre un problème complexe en mécanique, en particulier comportant des liaisons. Connaître et savoir appliquer les équations d'Euler-Lagrange dans différents cas physiques. Connaître les propriétés des systèmes hamiltoniens, la topologie des points d’équilibre (points elliptiques, hyperboliques) et les éléments de base du chaos hamiltonien. Savoir simplifier un système dynamique en fonction des propriétés du système physique, et déterminer son intégrabilité.