Présentation

Codage:

• Rappels sur les corps finis: construction de corps finis, algèbre linéaire sur un corps fini, anneau de polynômes en une indéterminée sur un corps fini, cyclicité du groupe multiplicatif
• Codes correcteurs d’erreurs linéaires. Longueur, dimension, distance, capacité de correction d’un code. Borne de Singleton. Matrice génératrice d’un code, matrice de parité d’un code
• Exemples de codes: codes polynomiaux, codes cycliques, codes de Hamming, codes BCH, codes de Reed-Solomon (codage et décodage, correction d’erreurs)

Cryptographie:

• Systèmes de chiffrement simples: chiffrements affine et linéaire
• Le chiffrement RSA
• L’échange de clé publique Diffie-Hellman
• Le chiffrement Massey-Omura
• Le chiffrement ElGamal
• Fonctions de hachage et la signature DSS
• Le problème du logarithme discret

Modélisation géométrique:

• Courbes et surfaces paramétrées, courbes et surfaces polynomiales et rationnelles.
• Polynômes de Bernstein et courbes et surfaces de Bézier. Polarisation d’un polynôme et l’algorithme de De Casteljau. La méthode de sous-division pour approcher les  courbes et surfaces polynomiales.

Implicitisation des courbes et surfaces rationnelles. Idéal d'élimination. Résultants, théorèmes de projection et d'élimination et d'implicitisation.  Bases de Groebner.