Présentation

Analyse
Compléments et approfondissement de la partie intégration de l'UE « Intégration et probabilités » du S3 et de l’UE «Analyse dans R^n » du S3.

1- Intégration :
    • Intégrales généralisées (avec comparaison série-intégrale).
    • Intégrales dépendant d'un paramètre.
    • Théorèmes de convergence dominés (admis), interversion somme-intégrale.

2- Analyse dans R^n :

    • Normes dans R^n, boule, ouvert, fermé. Limites de suites et de fonctions, continuité. Ensembles compacts : propriété de Bolzano-Weierstrass.

    •  Applications différentiables de R^n à valeurs dans R^p :
      différentielle, dérivées partielles, matrice jacobienne, jacobien; dérivées partielles d’ordre 2, formule de Taylor à l’ordre 2, application au calcul  des extrema;  formule de changement de variables dans les intégrales doubles et triples.

Algèbre linéaire 
Compléments et approfondissement de l'UE «Espaces euclidiens et coniques» du S4.
    • Formes linéaires et dualité, espace dual, orthogonalité par rapport à la dualité, transposée d'une application linéaire (au sens de la dualité).
    • Formes bilinéaires et formes quadratiques, orthogonalité, bases orthogonale, réduction de Gauss, classification des formes quadratiques sur R et C.
    • Espaces euclidiens, produit scalaire, norme associée, orthogonalisation de Gram-Schmidt, projection orthogonale, adjoint d'un endomorphisme, endomorphismes symétriques et diagonalisation dans une base orthonormée de vecteurs propres, endomorphismes orthogonaux, orientation, produit mixte et produit vectoriel.
    • Engendrement du groupe orthogonal par les réflexions, groupe orthogonal en dimension 2 et 3. (Pas fait en licence de maths classique.)
    • Formes hermitiennes, espaces hermitiens, orthogonalisation de Gram-Schmidt, projections orthogonale, endomorphismes hermitiens et diagonalisation dans une base orthonormée de vecteurs propres, endomorphismes unitaires.
    • Coniques dans l'espace affine euclidien R^2, classification et équation réduite.