Présentation

1. Mathématiques des populations :

I. Modèles déterministes
i. Modèles déterministes en temps discret : 
 - Modèle d’Euler (ou de Malthus)
 - Modèle logistique de Verhulst
 - Populations à comportement chaotique (travaux de May)
 - Modèles avec classes d’âges (modèle de Leslie)
ii. Modèles déterministes en temps continu :
 - modèle d’Euler, modèle de Verhulst
 - x’(t) = f(x(t)) : solutions stationnaires, stabilité et instabilité
 - Modèle de durée de vie de Makeham, de Gompertz
iii. Modèle de Populations en interactions de Lotka- Voltera
  - Théorie et schémas numériques (Euler, Runge Kutta)
  - Notions de champs de vecteurs et d'isoclines
iv. Modèles déterministes de propagation des épidémies : 
  - Modèle de Bernoulli pour la variole
  - Modèles S.I., S.I.R., SI.S., modèle de Ross de transmission du paludisme
II. Modèles stochastiques
i. Processus de branchement :
  - Modèle probabiliste de Galton Watson
  - Fonctions génératrices
  - Probabilité d’extinction
  - Simulation
  - Maximum de vraisemblance
ii. Processus de branchement en temps continu :
  - Fonctions génératrices
  - Evolution de la moyenne
  - Probabilité d’extinction
iii. Modèles probabilistes de naissance et de mort :
  - Rappels des notions sur les  processus Markoviens à temps continu
  - Loi stationnaire, probabilité d'extinction
  - Exemples classiques
iv. Modèles de durée :
  - Fonction de survie, fonction de hasard
  - Exemples de lois classiques : Exponentielle, Weibull (simulation et calibration), Gamma
  - Modèle de Gompertz- Makeham : définition et propriétés, simulation, calibration des taux de mortalité par régression et maximum de vraisemblance
  - Modèle logistique pour les taux de mortalité
  - Exemples numériques en langage R avec des données HMD (Human Mortality Database).
  - Modèles de durée composites
  - Analyse de la mortalité : quotient et taux de mortalité, fonction de hasard, diagramme de Lexis, mortalité transversale (par année) et longitudinale (par génération)
  - Espérance de vie résiduelle
  - Notion de censure : censures de type I et III,  fonction de vraisemblance avec prise en compte de censures.
  - Un exemple : le modèle de Pareto censuré

2. Calcul stochastique appliqué à la finance et assurance :

i. Revisite du modèle de Black-Scholes : 
  - Modélisation du prix d'action 
  - Notion de portefeuille admissible 
  - Portefeuille d'arbitrage 
  - Probabilité risque neutre 
  - EDP d'évaluation 
  - Formule de Black-Scholes pour le call et le put européens 
  - Les lettres grecques en finance 
  - Calcul des prix d'options européennes, exotiques, à barrière, forward-start
ii. Volatilité : 
  - Notion de volatilité historique
  - Notion de volatilité implicite
  - Notion de volatilité locale, calibration de la volatilité locale
iii. Modèles de taux stochastiques : 
  - Taux stochastique, obligation zéro-coupon, taux forward instantané, changement de numéraire ; 
  - Différents modèles de taux stochastiques (Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross, Hull-White, Black-Karasinski) ;
  - Modèle de HMJ pour le taux forward instantané ;
  - Prix d'un call européen dans le contexte d'un taux stochastique ;
  - Evaluation des caplets, floorlets, caps, floors, swaption ; 
  - Echanges de taux (taux swap)

3. Simulation stochastique :

i. Processus markovien à sauts (présentation des modèles et mise en oeuvre de la simulation)
  - Processus de Poisson homogène
  - File d'attente à 1 serveur et file d'attente M/M/r
  - Processus markoviens
  - Modèle de ruine d'une compagnie d'assurance
ii. Simulation de trajectoires browniennes et d'autres processus continus (rappels et simulation)
  - Mouvement brownien
  - Processus s'exprimant simplement à l'aide d'un mouvement brownien (intégrale par rapport à un mouvement brownien, brownien géométrique)
  - Pont brownien
iii. Méthode de Monte Carlo (théorie et simulation)
  - Loi forte des grands nombres (rappel)
  - Expérience de Buffon et méthode de Monte Carlo
  - Variante du théorème central limite avec la variance empirique
  - Intervalles de confiance pour la méthode de Monte Carlo
  - Méthodes de réduction de variance (Variables antithétiques et Variables de contrôle)
iv. Discrétisation d'EDS (théorie et simulation)
  - Théorème d'Itô (rappel, cadre multidimensionnel)
  - Principe des schémas d'approximation et prise en compte de leurs erreurs dans les intervalles de confiance
  - Schéma d'Euler
  - Schéma de Milshtein (pour ces deux schémas: présentation des schémas, théorèmes de convergence et de vitesse, simulation, dimensions 1 et supérieures)

4. Théorie des jeux :

i. Jeux à somme nulle (à une étape, avec des espaces d'actions finis) :
  - Valeur inférieure et valeur supérieure du jeu (en stratégies pures, en stratégies mixtes) 
  - Théorème de von Neumann sur l'existence d'une valeur en stratégie mixtes
  - Extension à des jeux avec espaces d'actions convexes et compacts dans R^d (Théorème de Sion)
ii. Jeux matriciels à deux personnes à somme non nulle (à une étape) : 
  - Notion d'équilibre de Nash (en stratégies pures, en stratégies mixtes)
  - Théorème de Nash, méthodes de calcul de l'équilibre de Nash
iii. Jeux matriciel à deux personnes à somme nulle avec information incomplète (où un joueur dispose de plus d'informations que l'autre) :  
  - Brève introduction du modèle d'Aumann et Maschler, notions de stratégies pure et mixte pour ce modèle 
  - Valeur du jeu en stratégies mixtes à la fin de l'étape T 
  - Discussion à l'aide des exemples du comportement de la valeur lorsque T tend vers l'infini 
  - Théorème d'Aumann et Maschler sur la valeur du jeu en stratégies mixtes

5. Outils avancés pour la data science :

i. Méthodes ensemblistes
  - XGBoost et stacking 
ii. Interprétabilité des méthodes de machine learning. 
iii. Projet en data science.