Présentation

Géométrie Algébrique (12h CM-12h TD)

• Rappels sur les opérations sur les idéaux (somme, produit, intersection, radical). Rappels sur les idéaux premiers, maximaux.
• Anneaux noethériens. Théorème de la base d’Hilbert. Algèbres de type fini sur un corps.
• Ensembles algébriques affines, anneaux de coordonnées. Exemples: courbes, hypersurfaces affines, etc.
• Ensembles algébriques projectifs, anneaux de coordonnées homogènes. Exemples: courbes, hypersurfaces projectives, etc.
• Topologie de Zariski sur un ensemble algébrique.  Sous-ensembles irréductibles, composantes irréductibles. Espaces topologiques noethériens.
• Variétés algébriques affines, quasi-affines, projectives, quasi-projectives. Corps de fonctions. Dimension.
• Théorème des zéros de Hilbert.
• Points singuliers, points réguliers. Critère jacobien.

    Géométrie Différentielle (12h CM-12h TD)

• 3 différentes définitons de variétés différentiables soit par des cartes, soit par équations implicites, soit comme graphes d'applications. Régularité d'une courbe (resp. surface) en un point. Exemples.
• Espace tangent. Longueur, courbure, rayon de courbure de courbe plane. Formule de Frénet.
• Courbes de l'espace, trièdre de Frenet.
• Surface de R^3: Première et Seconde forme fondamentale, courbure de Gauss, courbures normales et principales (application de Weingarten, shape operator)
• Fibré tangent. Champs de vecteurs.

.     Fibré cotangent. formes différentielles, leur produit tensoriel, symétrique et extérieur. Dérivée extérieure d'une forme différentielle. Énoncé du théorème de Stokes.